La loi de Newton établissait dans un espace Euclidien qu'une masse m était déviée sous l'action de la force de gravitation G créée par une masse M :
Cette force F est inversement proportionnelle au carré de la distance d qui sépare les 2 masses :
Ensuite, la théorie de la Relativité Générale d'Einstein (RG) a modifié cette perception des contacts entre objets en introduisant la notion de courbure géométrique de l'espace-temps créée par une masse possédant une densité d'énergie dans un espace de Minkowski :
La théorie de la Relativité Restreinte nous apprend qu'au lieu de vivre dans un espace euclidien à 3 dimensions [x, y, z] de signature (+ + +) où le temps est une entité séparée, nous vivons en réalité dans un espace à 4 dimensions où les trois dimensions de l'espace sont perpendiculaires à une dimension du temps, dans un espace-temps unique [t, x, y, z] appelé espace de Minkowski, de signature (- + + +). Dans cet espace, la longueur s se calcule en tant qu'hypoténuse d'un triangle rectangle, telle que son carré soit égal à la différence de deux de ses côtés. Par exemple, si un point M se décrit par un couple de valeurs des deux dimensions (t, x). Un point voisin M' correspondra aux valeurs (t + dt, x + dx), dt et dx étant de petits accroissements de t et de x. Donc si on considère que cet accroissement s'effectue selon une trajectoire décrite par le lien x = ct alors : dx = c dt
-> ds² = c² dt² - dx²
Cette grandeur s s'appelle le temps propre à savoir celui qui rythme la vie d'un objet se déplaçant à une vitesse v.
Il suffit de poser s = c τ où τ est ce temps propre. La métrique de cet espace de Minkowski donne :
Ce qui signifie que si on se place dans un contexte où t est le temps d'un observateur immobile équipé d'une horloge au sol et si v est la vitesse d'un objet équipé d'une horloge embarquée qui se déplace à cette vitesse par rapport à cette supposée immobilité alors le temps qui s'écoulera dans cet objet se trouvera affecté par la contraction de Lorentz.
Il faut savoir que dans cet espace, la vitesse de la lumière est limitée par les propriétés de l’espace temps (avec son contenu) dans lequel elle se diffuse.
En effet, Si on suppose que x est la coordonnée d'espace, t la coordonnée de temps et c la vitesse de la lumière, alors on peut définir une vitesse v selon l'expression v = dx/dt
Si on part de l'hypothèse que la variation de temps propre est toujours supérieure ou égale à 0 soit ds² = c² dt² - dx² ≥ 0 alors la vitesse de la lumière dans le vide est l'ultime limite de vitesse pour les objets en mouvement dotés d'une masse au repos positive puisque v ≤ c et les photons suivent des trajectoires qui sont nulles pour v=c.
La relativité restreinte est une théorie confinée à l'étude de référentiels inertiels de type Galiléens animés donc d'un mouvement rectiligne uniforme (dans un espace sans courbure en ligne droite et à vitesse constante).
La relativité restreinte se base principalement sur trois concepts :
Le postulat d'invariance de la vitesse de la lumière : la vitesse de la lumière ne peut ni s'ajouter, ni se soustraire, à la vitesse d'entraînement du référentiel dans lequel nous la mesurons (Expérience de Michelson-Morley)
Le principe cosmologique selon lequel l'univers est homogène en tout point, c'est-à-dire que ses propriétés générales s'appliquent partout.
Le principe de relativité restreinte : Aucun référentiel ne peut être considéré comme un référentiel absolu étant donné que les relations entre les grandeurs physiques sont identiques dans tous les référentiels Galiléens (Principe de relativité Galiléen). Le mouvement Galiléen est donc relatif.
En partant des principes de "variation relativiste de la masse" de 2 objets identiques entant en collision à des vitesses égales et opposées dans un référentiel R1 de manière élastique (Conservation de l'énergie cinétique et potentielle). Et considérant la loi de composition des vitesses appliquée à la transformation qui relie les coordonnées de ces mêmes objets à un second référentiel R2 en mouvement rectiligne uniforme par rapport à R1 (Transformation de Lorentz), nous pouvons établir la masse de chaque objet par la relation suivante :
Où m0 est la masse au repos de l'un ou l'autre des objets identiques.
NB : Je mettrai en annexe le détail des calculs permettant d'aboutir à cette relation.
Il est important de noter que c'est l'inertie (et non la masse) d'un objet qui dépend de sa vitesse v dans un référentiel donné. Pour être plus précis, c'est le facteur de Michelson-Morley γ qui varie et non la masse propre car celle-ci est un invariant relativiste.
Nous pouvons ainsi en déduire que lorsque la vitesse d'un objet tend vers celle de la lumière dans le vide, le facteur de Michelson-Morley tend vers l'infini. Cela confirme que la vitesse c de la lumière est la limite supérieure assignée à la vitesse de tout objet matériel. Ceci correspond aux résultats expérimentaux constatés ainsi qu'aux conséquences de la transformation de Lorentz. Ainsi, on peut distinguer deux types de particules :
Celles qui ont une masse et ne peuvent jamais atteindre la vitesse de la lumière (car cela nécessiterait une énergie infinie),
Celles qui ont une masse nulle et se déplacent toujours à la vitesse de la lumière (les photons).
Essayons maintenant d'étabir le principe d'équivalence entre la masse et l'énergie d'un objet.
Sous l'action d'une force F, la vitesse d'une masse m varie suivant sa trajectoire. Ainsi, l'énergie cinétique de cet objet s'écrit selon la relation :
En effet,
On sait que Ec = ½mv² donc d(½mv²) = m v dv. Or, la vitesse est la dérivée de la position de l'objet par rapport au temps : v = dx/dt. Donc d(½mv²) = m dx/dt dv = m dv/dt dx. Or, m dv/dt =m a = F selon la seconde loi de Newton. D'où d(½mv²) = F dx soit dEc = F dx
La relation entre la force et la quantité de mouvement est établie par la relation suivante :
Or l'intégration par parties nous énonce :
Donc :
Or
Donc
La variation d'énergie cinétique d'une particule est donc équivalente à sa variation de masse. Puisque m0 est sa masse au repos, la quantité m0*c2 est "l'énergie au repos" de la particule.. Nous pouvons en déduire :
Où le second membre de cette relation représente l'énergie totale E de la particule dans le vide. Nous pouvons donc en déduire :
La loi de Newton est une approximation par linéarisation de la théorie de la RG.
En effet, considérons l'exemple de la planète Mercure qui est la seule planète de notre système solaire dont on a pu constater 2 particularités expliquées par la RG :
La première est de voir son plan de rotation dériver lorsqu'elle se situe au plus près du Soleil (Périhélie). Ce mouvement de précession très infime a été estimée à 45 seconde d'arc par siècle (0,01251 degrès) :
La deuxième c'est que ses rayons de lumière semblent se courber autour du Soleil comme l'a observé pour la première fois Sir Arthur Eddington lors de l'éclipse solaire de 1919. La réalité c'est qu'ils suivent des lignes droites de l'espace-temps, c'est-à-dire ses géodésiques. La courbure apparente de la lumière n'est donc qu'une illusion car nous ne sommes pas capables de voir directement la déformation de l'espace-temps produite par un objet massif tridimensionnel placé dans un espace de dimension plus grande. Néanmoins, nous pouvons le projeter sur un espace de dimension inférieure (comme un plan 2D), afin de comprendre :
Nous avons une percéption euclidienne du monde, donc nous ne le voyons que comme un plan à 2 dimensions. Par conséquent, nous voyons les rayons lumineux se courber autour du Soleil, comme un chemin courbé dans un monde plat. Mais ceci n'est qu'une interprétation. En réalité, les rayons lumineux suivent les "chemins droits" des géodésiques dans un espace courbé.
Nous pouvons qualifier ces phénomènes comme étant non linéaires car ils ne peuvent s'expliquer que par la théorie de la RG. Mais si on décide de linéariser par exemple la trajectoire de Mercure autour du Soleil selon la loi de Newton, on obtiendrait une ellipse parfaite dessinée sur un plan.
Voyons à présent une des premières applications pratiques de la Relativité ...
La théorie de la Relativité a été appliquée au système GPS pour corriger les dérives liée à la géolocalisation de 11km par jour en tenant compte de l’altitude et de la vitesse de déplacement des satellites. Appliquer une correction liée au ralentissement du temps quand le satellite se déplace à une vitesse v ainsi que la dérive liée à l’altitude du satellite et le fait que selon la relativite générale, un objet massif courbe l’espace-temps en le dilatant donc le temps ralentit ou freine à l’approche d’une masse comme la terre également:
- L’horloge mesurant le temps propre dans un satellite va compter un temps supplémentaire de 45 microsecondes par jour (liée à la position 20000m par rapport au temps t d’un observateur immobile sur terre selon la relativité générale) : en effet, on calcule d’abord cette dérive grâce à la métrique de Schwartzschild liée à l’altitude du satellite de 20000m puis on applique le temps propre résultant aux 4 horloges atomiques au cesium de chaque satellite pour compenser cette dérive relativiste liée à l’altitude (45micro secondes d’écart avec t). De 11km par jour on passe alors à 2km
- Mais il faut également déduire ce temps propre de celui lié au déplacement du satellite à la vitesse de 3km/s (relativité restreinte) ce qui implique donc un plus grand ralentissement du temps propre τ par rapport à t qui sera de 7 microsecondes selon la formule de calcul énoncée plus haut.
On parvient alors à une marge d’erreur totale de 5 à 15m maximum (v 3km/s et 20000m altitude).
=> Ce qui implique donc que l’effet de la relativité générale (τ = 45micros) est supérieur à l’effet de la relativité restreinte (7 micros) ce qui fait qu’au total l’horloge du satellite vieillit plus de 38 microsecondes à savoir 45-7 donc en orbite on vieillit plus vite qu’à la surface de la terre contrairement à l’idée reçue.
- Le temps se dilate en altitude donc on vieillit plus vite.
- Le temps ralentit sur terre donc on vieillit moins vite.
Ce qui invalide finalement le paradoxe des jumeaux de langevin selon lequel un objet se s’éloignant d’un autre objet a une vitesse, vieillit plus vite mais qu’on peut considérer l’inverse aussi en se basant sur le référentiel du voyageur.
Il faut aussi savoir que la contraction de lorentz s’applique également aux longueurs donc les longueurs se dilatent dans les mêmes proportions (cercle devient une ellipse) que le temps quand on accélère à des vitesses relativistes (horloge en mouvement va moins vite que celle au repos) :
Ce qui veut dire qu’en accélérant suffisamment vite on peut voir l’espace se dilater mais il faut savoir que l’observateur avec son horloge se dilate aussi puisqu’il fait parti de l’espace. Donc un escargot accélérant à une vitesse relativiste ne peut pas déformer l’univers puisqu’il percevra pas de différence dans la mesure où il se dilatera aussi!
Donc l’espace et le temps sont simplement des dimensions relatives par rapport à l’observateur concerné donc tout est relatif !
NB : Temps propre c’est le temps réel perçu par un observateur placé sur un objet en mouvement dans le univers c’est to
Le temps t est le temps perçu par un observateur immobile qui voit l’observateur en mouvement parcourir son mouvement
Le photon a donc un temps propre qui est nul il ne voit pas le temps passé aussitôt né aussitôt mort car v=c τ = 0
Prenons maintenant cette échelle :
Limitation géométrique appliquée par le déplacement sur la demi sphère à la vitesse v. En accélérant on ne peut au mieux arriver à la vitesse de la lumière au centre puis redescendre de l’autre côté. On ne peut donc géométriquement jamais dépasser c